Proposición 6.4

Enunciado

Sea $Y$ un espacio topológico. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$Y$ es contráctil.
Existe $y_{0} \in Y$ tal que ${Id}_{Y} ≃ C_{y_{0}} : Y \to {y_{0}}$ .
Para todo espacio topológico $X$ , cualquier par de aplicaciones continuas $f, g : X \to Y$ son homotópicas.
Para todo $y_{0} \in Y$ , se tiene que ${Id}_{Y} ≃ C_{y_{0}}$ .
Si $f : Y \to X$ es continua, existe $x_{0} \in X$ tal que $f ≃ C_{x_{0}}$ .

Observación

El punto 5 es un caso general del punto 2. Así, si $Y$ es contráctil, para cualquier punto de este subespacio se tendrá una función constante $C_{y_{0}}$ homotópicamente equivalente a la identidad $I d_{Y}$ .

Demostración

$(1 ⟹ 2)$

Por hipótesis, $Y ≃_{p} {p}$ ; por tanto, existen aplicaciones continuas $f : Y \to {p}, g : {p} \to Y$ tales que $f \circ g ≃ I d_{{p}}$ así como $g \circ f ≃ I d_{Y}$ . Entonces tenemos que $f (y) = p \forall y \in Y$ es la aplicación constante^[1]. Similarmente, $g (p) = y_{0}$ . Por tanto, definimos $C_{y_{0}} := f \circ g ≃ I d_{Y}$ para cierto $y_{0} = g (p)$ .

$(2 ⟹ 3)$

Sabemos que existe $y_{0} \in Y$ tal que $I d_{Y} ≃ C_{y_{0}}$ . Tomamos un espacio topológico $X$ arbitrario y $f, g : X \to Y$ continuas. Vemos que son homotópicamente equivalentes:

f = I d_{Y} \circ f ≃ C y_{0} \circ f ⟹ D_{y_{0}} (x) = y_{0} \forall x \in X

g = I d_{Y} \circ f ≃ C y_{0} \circ g ⟹ D_{y_{0}} (x) = y_{0} \forall x \in X

Por tanto, $f ≃ D_{y_{0}} ≃ g$ .

$(3 ⟹ 4)$

Sea $y_{0} \in Y$ arbitrario. Siempre podemos aplicar el punto 3 tomando las aplicaciones

f : Y \to Y con f = I d_{Y}, g : Y \to Y con g = C_{y_{0}}

Teniendo entonces que $g ≃ C_{y_{0}} ≃ I d_{Y} ≃ f$ .

$(4 ⟹ 5)$

Sea $X$ un espacio topológico y una aplicación $f : Y \to X$ continua. Entonces:

f = f \circ I d_{Y} ≃ f \circ C_{y_{0}} = C_{f (y_{0})}

Definiendo $x_{0} := f (y_{0})$ , ya se tiene que $f ≃ C_{x_{0}}$ .

$(5 ⟹ 2)$

Aplicar el punto 5 tomando $X = Y$ a la vez que $f = I d_{Y}$ .

$(2 ⟹ 1)$

Tomamos el $y_{0}$ que satisface el punto 2^[2]. Asimismo, $f = C_{y_{0}}$ y $g = ι$ . De esta manera cumplen:

f \circ g = I d_{{y_{0}}} ≃ C_{y_{0}}

g \circ f = C_{y_{0}} ≃ I d_{Y}

Luego $Y ≃ {y_{0}}$ .

Pues es espacio de llegada es un único punto. ↩︎
También se podría haber demostrado $(4 ⟹ 1)$ , sirviendo cualquier punto. ↩︎

Enunciado

Demostración

(1⟹2)

(2⟹3)

(3⟹4)

(4⟹5)

(5⟹2)